電気回路I及び同演習-中間

試験範囲

2章P.31P.63　実時間表示　RL回路RC回路（該当する例題および章末演習問題）
3章P.90P.113　複素数表示（フェーザ表現）RL回路RC回路（該当する例題および章末演習問題）

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第２章　基本的な交流回路の計算 (I)

2.1　正弦波交流

$v(t)=V_m\sin (\omega t+\theta )[V]$n
$i(t)=I_m\sin (\omega t+\varphi )[A]$

記号	単位	名称
$V_m$	V	電圧の最大振幅
$I_m$	A	電流の最大振幅
$\omega$	rad/s	角周波数
$\theta$	rad	位相（角）
$\varphi$	rad	位相（角）

Info

$\theta =\varphi$：電圧と電流は同相である
$\theta >\varphi$：電圧は電流より($\theta -\varphi$)位相が遅れている(lag)
$\theta <\varphi$：電圧は電流より($\theta -\varphi$)位相が進んでいる(lead)

実効電圧$V=\frac{V_m}{\sqrt{2}}$

2.2　基本的な回路素子

抵抗のみ

$i(t)=\frac{v(t)}{R}$

インダクタのみの回路

インダクタンス(L)：インダクタの誘導の大きさ
単位：ヘンリー$[H]$
インピーダンス：$\omega L[\text{ohm}]$
電圧：$v(t)=L\frac{di(t)}{dt}$
位相：$-\frac{1}{2}$
アドミタンス：$\frac{1}{\omega L}[S]$

Tip

アドミタンスは抵抗、インピーダンスの逆数
Yで表記され単位はジーメンス$[S]$

キャパシタのみの回路

キャパシタンス(C)：静電容量
単位：ファラド$[F]$
インピーダンス：$\frac{1}{\omega C}$
電流：$v(t)=\frac{1}{C}\int i(t)dt$
位相：$\frac{1}{2}$
アドミタンス：$\omega C$

Tip

三角関数の積分は時計回り、微分は反時計回り？

2.3　基本的な直列回路の計算

RL直列回路

$Ri(t)+\omega Li(t)=v(t)$

$$\begin{array}{rl}v(t)& =Ri(t)+L\frac{di(t)}{dt}\\ \sqrt{2}V\sin (\omega t)& =R\sqrt{2}I\sin (\omega t+\theta )+\omega L\sqrt{2}I\cos (\omega t+\theta )\\ \sqrt{2}V\sin (\omega t)& =\sqrt{2}I(R\sin (\omega t+\theta )+\omega L\cos (\omega t+\theta ))\\ & \\ 三角関数の& 合成定理より、\\ & \\ \sqrt{2}V\sin (\omega t)& =\sqrt{2}I(\sqrt{R^2+(\omega L{)}^2}\sin (\omega t+\theta +\alpha ))\\ V\sin (\omega t)& =I(\sqrt{R^2+(\omega L{)}^2}\sin (\omega t+\theta +\alpha ))\\ I& =\frac{V\sin (\omega t)}{\sqrt{R^2+(\omega L{)}^2}\sin (\omega t+\theta +\alpha )}\\ & \\ \sin (\omega t+\theta +\alpha )& を\sin (\omega t)にしたい\\ \theta +\alpha =0とする& \\ I& =\frac{V\sin (\omega t)}{\sqrt{R^2+(\omega L{)}^2}\sin (\omega t)}\\ I& =\frac{V}{\sqrt{R^2+(\omega L{)}^2}}\\ & \\ 三角関数の& 合成定理より、\\ \alpha & ={\tan }^{-1}\left(\frac{\omega L}{R}\right)\\ \theta & =-\alpha \end{array}$$

Tip

三角関数の合成定理

$a\cos \varphi +b\sin \varphi =\sqrt{a^2+b^2}\sin (\varphi +\alpha )$
$\alpha ={\tan }^{-1}\left(\frac{a}{b}\right)$

例題2.8

$R=10[\text{ohm}]$の抵抗と$L=\sqrt{3}/2\pi [H]$のインダクタを直列接続した回路に交流電圧$v(t)=200\sqrt{2}\sin 20\pi t[V]$を印加したとき、次の問に答えよ。

1. 流れる電流の瞬時値$i(t)$を求めよ。

2. 抵抗とインダクタの両端の電圧の瞬時値を求めよ。

$$\begin{array}{rl}I& =\frac{V}{\sqrt{R^2+(\omega L{)}^2}}\\ & =\frac{200}{10^2+(20\pi \times \frac{\sqrt{3}}{2\pi }{)}^2}\\ & =10\\ & \\ & 位相\theta は\\ & 10,10\sqrt{3}\\ & 1,\sqrt{3}\\ \alpha & =\frac{\pi }{3}\\ \theta & =-\alpha =-\frac{\pi }{3}\\ & \\ i(t)& =10\sqrt{2}\sin (20\pi t-\frac{\pi }{3})\end{array}$$

Tip

位相$\varphi$は抵抗$R$を$\cos$、インダクタ$L$やコンダクタ$C$は$\sin$としてオイラーの定理の形から求める。

$$\begin{array}{rl}{v}_R(t)& =Ri(t)\\ & =100\sqrt{2}\sin (20\pi t-\frac{\pi }{3})[V]\\ & \\ v_L(t)& =L\frac{di(t)}{dt}\\ & =\frac{\sqrt{3}}{2\pi }200\pi \sqrt{2}\cos (20\pi t-\frac{\pi }{3})\\ & =100\sqrt{6}\sin (20\pi t-\frac{\pi }{3}+\frac{\pi }{2})\\ & =100\sqrt{6}\sin (20\pi t+\frac{\pi }{6})\end{array}$$

Tip

位相プラスは左に移動、位相マイナスは右に移動

RC直列回路

$Ri(t)+\frac{1}{C}\int i(t)dt=v(t)$

$$\begin{array}{rl}v(t)& =Ri(t)+\frac{1}{C}\int i(t)dt\\ \sqrt{2}V\sin (\omega t)& =R\sqrt{2}I\sin (\omega t+\theta )-\frac{1}{\omega }\frac{1}{C}\sqrt{2}I\cos (\omega t+\theta )\\ V\sin (\omega t)& =I(R\sin (\omega t+\theta )-\frac{1}{\omega C}\cos (\omega t+\theta ))\\ & \\ 三角関数の& 合成定理より、\\ & \\ V\sin (\omega t)& =I(\sqrt{R^2+(\frac{1}{\omega C}{)}^2}\sin (\omega t+\theta +\alpha ))\\ I& =\frac{V\sin (\omega t)}{\sqrt{R^2+(\frac{1}{\omega C}{)}^2}\sin (\omega t+\theta +\alpha )}\\ & \\ \sin (\omega t+\theta +\alpha )を& \sin (\omega t)にしたい\\ \theta +\alpha =0とする& \\ I& =\frac{V}{\sqrt{R^2+(\frac{1}{\omega C}{)}^2}}\\ & \\ 三角関数の& 合成定理より、\\ \alpha & ={\tan }^{-1}\left(\frac{\frac{1}{\omega C}}{R}\right)={\tan }^{-1}\left(\frac{1}{\omega CR}\right)\\ \theta & =-\alpha \end{array}$$

例題2.9

$R=2[k\text{ohm}]$の抵抗と$C=5/\pi [\text{micro}F]$のキャパシタを直列接続した回路に交流電圧$v(t)=200\sqrt{2}\sin (\omega t)[V]$を印加したとき、次の問に答えよ。ただし、電圧の周波数は50Hzとする。

1. 流れる電流の瞬時値$i(t)$を求めよ。

2. この時、電流は電圧に対して、位相がどれだけ進んでいるか、あるいは遅れている。

3. 抵抗とキャパシタの両端の電圧の瞬時値を求めよ。

$$\begin{array}{rl}\omega & =2\pi f=100\pi \\ & \\ I& =\frac{V}{R^2+(\frac{1}{\omega C}{)}^2}\\ & =\frac{200}{(2\times 10^3{)}^2+(\frac{1}{100\pi \frac{5}{\pi }\times 10^{-6}}{)}^2}\\ & =\frac{200}{\sqrt{2000^2+2000^2}}\\ & =\frac{0.1}{\sqrt{2}}\\ & \\ \theta & =-\alpha \\ & =-{\tan }^{-1}\left(\frac{1}{\omega CR}\right)\\ & =\frac{\pi }{4}\\ & \\ i(t)& =0.1\sin (\omega t+\frac{\pi }{4})\\ & \\ R:\frac{1}{\omega C}& =2000:2000=1:1\end{array}$$

2. 電流は電圧に対して位相が$\frac{\pi }{4}$だけ進んでいる。

$$\begin{array}{rl}{v}_R(t)& =Ri(t)\\ & =200\sin (\omega t+\frac{\pi }{4})\\ & \\ v_C(t)& =\frac{1}{C}\int i(t)dt\\ & =-\frac{1}{\omega C}0.1\cos (\omega t+\frac{\pi }{4})\\ & =200\sin (\omega t-\frac{\pi }{4})\end{array}$$

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基本的な交流回路の計算(II)

3.1　複素数　　3.3　交流のフェーザ表現

オイラーの関係式

$e^{j\theta }=\cos \theta +j\sin \theta$

$z=x+jy$に対して$z=x-jy$を共役複素数と呼ぶ

$z=1-j\sqrt{3}$　　　　直交座標表現
$z=2e^{-j\frac{\pi }{3}}$　　　　　 極座標表現
$z=\sqrt{2}\angle -\frac{\pi }{3}$　　　フェーザ表現（表示）

Tip

極座標表現：$z=\sqrt{2}A{e}^{-j\theta }$
フェーザ表現：$z=A\angle \theta$

3.3　RL直列回路

$v(t)=\sqrt{2}V\sin (\omega t)$　正弦波交流
↓
$v(t)=\sqrt{2}V{e}^{j\omega t}$　　　複素電圧

$i(t)=\sqrt{2}V{e}^{j(\omega t+\varphi )}$　複素電流

$R+j\omega L=Z$　複素インピーダンスZ

例題2.8

$R=10[\text{ohm}]$の抵抗と$L=\sqrt{3}/2\pi [H]$のインダクタを直列接続した回路に交流電圧$v(t)=200\sqrt{2}\sin 20\pi t[V]$を印加したとき、次の問に答えよ。

1. 流れる電流の瞬時値$i(t)$を求めよ。

$$\begin{array}{rl}v(t)& =Zi(t)\\ i(t)& =\frac{v(t)}{Z}\\ & =\frac{200\sqrt{2}\sin (20\pi t)}{R+j\omega L}\\ & =\frac{200\sqrt{2}{e}^{j20\pi t}}{10+j10\sqrt{3}}\\ & =\frac{200\sqrt{2}{e}^{j20\pi t}}{10\times 2e^{j\frac{\pi }{3}}}\\ & =10\sqrt{2}{e}^{j(20\pi t-\frac{\pi }{3})}\\ & =10\sqrt{2}\sin (20\pi t-\frac{\pi }{3})\end{array}$$

3.4　RC直列回路

$R+\frac{1}{j\omega C}=Z$　**複素数インピーダンスZ

例題2.9

$R=2[k\text{ohm}]$の抵抗と$C=5/\pi [\text{micro}F]$のキャパシタを直列接続した回路に交流電圧$v(t)=200\sqrt{2}\sin (\omega t)[V]$を印加したとき、次の問に答えよ。ただし、電圧の周波数は50Hzとする。

1. 流れる電流の瞬時値$i(t)$を求めよ。

$$\begin{array}{rl}\omega & =100\pi \\ & \\ v(t)& =Zi(t)\\ i(t)& =\frac{v(t)}{Z}\\ & =\frac{200\sqrt{2}\sin (100\pi t)}{R+\frac{1}{j\omega C}}\\ & =\frac{200\sqrt{2}\sin (100\pi t)}{2000+\frac{1}{j}2000}\\ & =\frac{200\sqrt{2}{e}^{100\pi t}}{2000\sqrt{2}{e}^{-\frac{\pi }{4}}}\\ & =0.1e^{j(100\pi t+\frac{\pi }{4})}\\ & =0.1\sin (100\pi t+\frac{\pi }{4})\end{array}$$

Tip

$\frac{1}{j}$の場合は符号がマイナスになる？